Linear Algebra

선형변환 (Linear Transformation)

대수학

• 미지수와 미지수를 사용하는 수학

선형

• 선형성 또는 선형의 성질을 갖는 대상, 변환
• 함수의 경우에는 진행하는 모습이 직선을 나타냄
  • 원점을 지나는 2차원 공간사으이 모든 직선
• 선형의 정의
  • 임의의 수 x, y에 대해 f(x+y) = f(x)+f(y)가 항상 성립
  • 임의의 수 x에 대해 f(ax) = af(x)가 항상 성립

벡터와 벡터 공간

• 공간이란 어떤 값이나 객체들의 집합
  • 정의역, 치역 등
• 벡터 공간은 이런 공간들 중 특정 성질을 만족하는 공간
  • 유클리드 벡터와는 사실 조금 다르다
• 성질
  • v, w와 모두 V 집합의 원소일 때, V + V -> V 인 연산, 벡터 덧셈과
  • v가 V 집합의 원소이고, a가 F 집합의 원소일 때, F x V -> V인 연산, 스칼라곱이 정의되고
  • 아래의 성질을 만족하면 집합 V를 체 F 위의 벡터 공간이라고 하며, V의 원소를 벡터라 한다
    1. v + w -> V
    2. u + (v + u) = (u + v) + w
    3. V에 0이 존재하여, V의 임의의 원소 v에 대해 v + 0 = v
    4. V의 임의의 원소 v에 대해, v +(-v) = 0을 만족시키는 -v가 V 안에 존재
    5. v + w = w + v
    6. a*v가 V의 원소이다
    7. a(bv) = (ab)v
    8. 1이 체 F의 곱셈에 대한 항등원일 때, 1*v = v
    9. a*(v+w) = aw+av
    10. (a+b)*b = av+bv

벡터 공간과 선형공간의 관계

• 선형 함수의 출력값들이 모두 모인 치역은 벡터 공간이다
• 원소간의 덧셈 조건 만족
  • 선형함수 - 임의의 수 x, y에 대해 f(x+y) = f(x)+f(y)가 항상 성립
  • 벡터공간 - v + w -> V
• 원소와 스칼라 곱 조건 만족
  • 선형함수 - 임의의 수 x에 대해 f(ax) = af(x)가 항상 성립
  • 벡터공간 - 임의의 수 x에 대해 f(ax) = af(x)가 항상 성립

기타 기억할 점

• 선형 변환과 벡터공간이라는 게 있다는 것
• 선형 변환은 행렬로 표현이 가능하다는 것
• 선형 변환을 통해 하나의 벡터를 다른 벡터로 변환시킬 수 있다는 것